亥姆霍兹方程是时谐电磁场方程. 首先三个都是时变场下的，不是静态场。. 波动方程是：时变电磁场下，无源，又麦克斯韦方程组方程直接推导出来. 达朗贝尔方程：时变电磁场下：引入了矢量位和标量位来描述E,H后，洛伦兹条件下：矢量位和标量位满足的微分

1，亥姆霍兹方程可以描述波动方程中的时间和空间的变化，也可以描述输运方程，不过只能描述输运方程空间部分的变化。 2，三个方程都是二阶线性微分方程，边界条件都是需要的。 3，泊松方程和拉普拉斯方程不需要初始条件，输运方程只要一个初始条件

一、波动方程和热传导方程. 波动方程 u_{tt}(\mathbf r,t)-a^2\nabla^2u(\mathbf r,t)=0\\ 可由分离变量法分解如下 \nabla^2U(\mathbf r)+k^2U(\mathbf r)=0.\\ T''(t)+a^2k^2T(t)=0\\ 其中第一个方程称为亥姆霍兹方程 热传导方程 u_t(\mathbf r,t)-a^2\nabla^2u(\mathbf r,t)=0\\ 可由分离变量法分解如下 \nabla^2U(\mathbf r)+k^2U(\mathbf r)=0\\ T'(t)+a^2k^2T

综上所述，达朗贝尔方程与波动方程紧密相关，通过引入时间维度的算符达朗贝尔算符，描述了场随时间与空间变化的关系。而亥姆霍兹方程则是波动方程在特定条件下的简化形式，强调了空间和时间变量的独立性，是描述静态场或波动在特定条件下的重要工具。

亥姆霍兹方程是时谐电磁场方程. 首先三个都是时变场下的，不是静态场。. 波动方程是：时变电磁场下，无源，又麦克斯韦方程组方程直接推导出来. 达朗贝尔方程：时变电磁场下：引入了矢量位和标量位来描述E,H后，洛伦兹条件下：矢量位和标量位满足的微分

1，亥姆霍兹方程可以描述波动方程中的时间和空间的变化，也可以描述输运方程，不过只能描述输运方程空间部分的变化。 2，三个方程都是二阶线性微分方程，边界条件都是需要的。 3，泊松方程和拉普拉斯方程不需要初始条件，输运方程只要一个初始条件