苏莱曼大帝通过海雷丁帕夏重建奥斯曼海军，并在地中海取得霸权的过程如下：

1. 海雷丁帕夏的加入：海雷丁帕夏（巴巴罗萨·海雷丁）是海盗史上最负盛名的海盗之一，他在1533年正式臣服于奥斯曼帝国苏丹苏莱曼大帝，二者强强联手，海雷丁帕夏成为奥斯曼帝国的海军总司令[1]。他的加入极大地增强了奥斯曼帝国海军的实力。

2. 军事行动与扩张：苏莱曼大帝命令海雷丁帕夏带领奥斯曼海军进行多次军事行动，包括对抗哈布斯堡王朝和支援法国对抗西班牙的行动。例如，在1542年，为了对付哈布斯堡王朝的威胁，法王弗朗索瓦一世请求恢复与奥斯曼帝国的联盟，苏莱曼令海雷丁帕夏带领200艘大帆船开往西地中海支援法国[2]。

3. 海军力量的增强：海雷丁帕夏不仅带来了他的海盗舰队，还通过建造和改进船只，增强了奥斯曼海军的力量。在他的领导下，奥斯曼海军能够与欧洲的海上强国如西班牙和威尼斯竞争[3]。

4. 地中海霸权的确立：通过一系列的海战和军事征服，奥斯曼帝国在苏莱曼大帝和海雷丁帕夏的领导下，逐渐确立了在地中海的霸权地位。他们控制了地中海的许多关键地区，包括罗德岛和其他战略要地[4]。

综上所述，苏莱曼大帝通过海雷丁帕夏的加入、军事行动的指挥、海军力量的增强以及地中海地区的控制，成功重建了奥斯曼海军，并确立了在地中海的霸权。

[1] 海盗王的复仇之路，巴巴罗萨·海雷丁（3）——奥斯曼简史65 [2] 苏莱曼一世(奥斯曼帝国) - 维基百科，自由的百科全书 [3] 十六世纪土耳其与西班牙的两强争霸 - 搜狐 [4] 十六世纪土耳其与西班牙的两强争霸 - 观察者