在中世纪欧洲，拜占庭皇帝和神圣罗马皇帝之间长期争夺罗马皇帝的合法代表权，主要基于以下几个原因：
继承罗马帝国的法统：根据澎湃新闻的文章《吵翻了，罗马帝国继承者到底是谁》，“只有继承罗马帝国法统的‘帝位’，才是帝国的合法继承人”。因此，双方都声称自己是罗马帝国的合法继承者，拥有统治整个基督教世界的权力和责任。
政治和宗教的合法性：如中国历史研究院的文章《欧洲中古史视阈中的拜占庭帝国》所述，拜占庭人继承了罗马帝国中央集权制的政治遗产，并以罗马帝国正统继承者的身份保持了统一帝国的政治体制。而神圣罗马帝国则基于“上帝之意”为君权神圣的正当依据，如腾讯新闻《德意志为什么叫神圣罗马帝国？教皇和皇帝谁权力更大？》所述。
权力和影响力：双方争夺罗马皇帝的合法代表权，也是为了在欧洲扩大自己的权力和影响力。如维基百科“双帝问题”条目中提到，这种争夺是中世纪欧洲史中常见的现象，涉及到君士坦丁堡的拜占庭皇帝与德意志地区的神圣罗马皇帝之间关于罗马皇帝合法代表权的长期争论。
对抗外来威胁：西北大学中东研究所的文章《陈志强教授：欧洲文明视阈中的拜占庭历史与文化》提到拜占庭帝国在保护整个欧洲方面发挥了重要的军事作用。而神圣罗马帝国则在中世纪西方的碎片化司法权冲突中加入了对世俗权威的主张，如marxists.org的文章《第四章中世纪》所述。
综上所述，拜占庭皇帝和神圣罗马皇帝之间的长期争夺，是基于对罗马帝国法统的继承权、政治和宗教合法性的追求，以及对权力和影响力的扩张。这场争夺不仅是政治斗争，也是中世纪欧洲权力结构和国际关系的重要组成部分。