安茹-西西里王朝在匈牙利和波兰的统治结束的过程如下：
在匈牙利：安茹王朝在匈牙利的统治大致传了两代，即查理一世和他的儿子拉约什一世统治时期。拉约什一世去世后，由于没有直系继承人，安茹王朝在匈牙利的统治结束。1386年，匈牙利贵族选举西吉斯蒙德为国王，他属于卢森堡王朝，这标志着安茹王朝在匈牙利统治的结束12。
在波兰：波兰的皮雅斯特王朝结束于1370年，波兰王国和匈牙利王国因共有一个君主——拉约什一世——而进入了一段较为个人化的联合时期。拉约什一世去世后，1384年，波兰王国的王位由年仅十岁的雅德维加继承，她同时也是匈牙利的女王。雅德维加的统治标志着安茹王朝在波兰统治的结束，并开启了波兰的雅盖隆王朝时期34。
综上所述，安茹-西西里王朝在匈牙利和波兰的统治主要是通过王位继承问题而结束的，西吉斯蒙德和雅德维加的相继即位，分别标志着该王朝在匈牙利和波兰统治的终结。