参考资料

自由粒子的波动方程的标准形式是薛定谔方程，其表达式为：

[ \left[\frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}, t)\right] \Psi(\mathbf{r}, t) = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) ]

对于自由粒子，势能 ( V(\mathbf{r}, t) ) 为零，因此方程简化为：

[ \frac{-\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi(\mathbf{r}, t) = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) ]

这个方程揭示了自由粒子的波函数 ( \Psi(\mathbf{r}, t) ) 随时间的变化规律。波函数是复数，包含粒子出现的概率密度和粒子的波动性质。波函数的模的平方 ( |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 ) 表示粒子在位置 ( \mathbf{r} ) 于时间 ( t ) 出现的概率密度。波函数的复指数形式 ( \Psi(\mathbf{r}, t) = A e^{i(kx - \omega t)} ) 显示了波的空间和时间的周期性，其中 ( k ) 是波数，( \omega ) 是角频率，它们与粒子的动量和能量有关。

引用来源：PDF 第二章：薛定谔方程