法蒂玛王朝从北非扩展到埃及并最终定都开罗的过程如下：

1. 起源与扩张：法蒂玛王朝起初是北非伊斯兰什叶派的一个王朝，以伊斯兰先知穆罕默德之女法蒂玛命名。来源 该王朝在909年由伊斯梅尔派信徒在突尼斯建立，随后开始向周边地区扩张。

2. 征服埃及：公元969年，法蒂玛王朝哈里发穆伊兹派遣大将昭海尔领兵攻入埃及，占领了孟菲斯古城，并将其改名为开罗，意为“胜利”。来源 埃及随后成为法蒂玛王朝的领土。

3. 定都开罗：公元970年，法蒂玛王朝在埃及修建新城，并决定将都城迁移至此，命名新城为开罗。来源 开罗逐渐成为阿拉伯世界的中心，云集了四方学者，并最终演变成为中东的政治、经济、商业中心。

4. 文化与宗教影响：法蒂玛王朝继承和发展了阿拉伯东方伊斯兰文化，奖励科学研究，发展教育事业，使得文化和学术繁荣。来源 972年在开罗创建了爱资哈尔清真寺，并发展成宗教大学，世界各地的学者纷纷前来学习。

5. 政治变迁：法蒂玛王朝虽然于公元973年就迁都至开罗，但此后近200年，福斯塔特（Fustat，今开罗的旧城区）仍然是埃及的行政中心。直至一场大火之后，埃及首都永久性地迁至开罗。来源

综上所述，法蒂玛王朝通过军事征服和政治决策，成功地从北非扩展到埃及，并最终定都开罗，开启了其在中东地区的统治。