本文介绍了微分同胚的定义、重要性和应用，以及Demons算法的原理和优缺点。微分同胚是一种光滑可逆的拓扑映射，可以保证配准的可逆性和拓扑保持性，Demons算法是一种全局坐标变换模型的配准算法，使用参考图像的梯度和灰度差值来计算点的坐标偏移量。

本文介绍了同胚、微分同胚和切映射的概念和性质，以及两个正则曲面之间的切映射关系的证明方法。切映射是指两个正则曲面的可微映射关系，其切平面之间的线性关系由雅可比矩阵表示。

對給定的兩個微分流形, ，若對光滑映射: ，存在光滑映射: 使得 = 、 = ，則稱 為微分同胚。 此時逆映射 是唯一的。. 若在微分流形, 之間存在微分同胚，則稱 與 是微分同胚的，通常記為 。. 對於 流形，可採同樣辦法定義 微分同胚之概念。

简而言之，庞加莱映射，就是初始点从过初始点的超平面开始，沿着流，直到流再次与超平面相交得到一个新的点，这就是庞加莱映射。. 因此， 庞加莱映射是随着微分方程组变化而变化的。. 而且庞加莱映射的定义域是那些存在这样的超平面使得流能够回归的

在数学中，微分同胚是适用于微分流形 范畴的同构概念。这是从微分流形之间的可逆映射，使得此映射及其逆映射均为光滑（即无穷可微）的。 这是从微分流形之间的可逆映射，使得此映射及其逆映射均为光滑（即无穷可微）的。

在数学中，微分同胚是适用于微分流形 范畴的同构概念。这是从微分流形之间的可逆映射，使得此映射及其逆映射均为光滑（即无穷可微）的。 这是从微分流形之间的可逆映射，使得此映射及其逆映射均为光滑（即无穷可微）的。