因此，Ising模型不仅仅是一个统计物理模型，它更是一个建模各种复杂系统模型的典范，可以模拟出广泛存在于自然、社会、人工系统中的各种抽象临界现象. 2. 一维Ising模型解析解. 在1.2节中，我们给出了Ising模型的配分函数

単純なモデルであるため厳密な解析が可能であり、特に外部磁場の無い二次元イジング模型は厳密解が得られる可 解 ... (E. Ising)がモデルの完全解を示した。任意の正の温度（有限の β）で、自由エネルギーは熱力学的パラメータの中で解析的であり

Ising模型（伊辛模型）是一个最简单且可以提供非常丰富的物理内容的模型，可用于描述很多物理现象，如：合金中的有序-无序转变、液氦到超流态的转变、液体的冻结与蒸发、玻璃物质的性质、森林火灾、城市交通等。Ising模型的提出最初是为了解释铁磁物质的相变，即磁铁在加热到一定临界温度

Ising模型简介1.1. ... 而导致长程联系的现象恰恰是真实复杂系统中常见的现象，如社会、经济、认知神经系统的复杂性. 因此，Ising模型不仅仅是一个统计物理模型，它更是一个建模各种复杂系统模型的典范，可以模拟出广泛存在于自然、社会、人工系统中的各种

Ising模型之所以具有如此广泛的应用并不仅仅在于它的模型机制的简单性，更重要的是它可以模拟出广泛存在于自然、社会、人工系统中的临界现象。 ... 局部相互作用而导致长程联系的现象恰恰是真实复杂系统，如社会、经济、认知神经系统的复杂性所在。因此

伊辛模型 Ising Model - 集智百科 - 复杂系统|人工智能|复杂科学|复杂网络|自组织 伊辛模型 Ising Model 来自集智百科 - 复杂系统|人工智能|复杂科学|复杂网络|自组织 [math]\displaystyle{ E_{\{s_i\}}=-J\sum_{\lt i,j\gt }{s_is_j}-H\sum_{i}^N{s_i} }[/math] [math]\displaystyle{ \{s_i\}=\{+1+1+1,+1+1-1,+1-1+1,+1-1-1,-1-1+1,-1+1+1,-1+1-1,-1-1-1\} }[/math] [math]\displaystyle{ p(\{s_i\})=\frac{1}{Z}\exp(-\frac{E_{\{s_i\}}}{kT}) }[/math] [math]\displaystyle{ Z=\sum_{\{s_i\}}\exp(-\frac{E_{\{s_i\}}}{kT}) }[/math] [math]\displaystyle{ \sum_{\{s_i\}}p(\{s_i\})=1 }[/math] 2. https://blog.csdn.net/wwxy1995/article/details/78774853）。 [math]\displaystyle{ M_{\{s_i\}}=\sum_{i=1}^N{s_i} }[/math] [math]\displaystyle{ \langle M\rangle =\sum_{\{s_i\}}{M_{\{s_i\}}p_{\{s_i\}}}=\frac{1}{Z} \sum_{\{s_i\}}{M_{\{s_i\}}\exp (-E_{\{s_i\}}/(kT))} }[/math] [math]\displaystyle{ m=\frac{\langle M\rangle}{N} }[/math] 上图表示了[math]\displaystyle{ m }[/math]随归一化温度呈现出幂律规律的变化，可以用如下公式表示： [math]\displaystyle{ m_0\sim (\frac{T_C-T}{T_C})^{\frac{1}{\beta}} }[/math] [math]\displaystyle{ \chi{(T,H)}=\frac{\langle M^2\rangle -\langle M\rangle^2}{NkT} }[/math] 类似地，我们将磁导率与归一化温度曲线画在双对数坐标下得到一条直线（当[math]\displaystyle{ H=0 }[/math]）： [math]\displaystyle{ \chi\sim (|T-T_C|/T_C)^{-\gamma} }[/math] 表示,其中指数[math]\displaystyle{ \gamma }[/math]约等于7/4。 [math]\displaystyle{ \langle E\rangle =\frac{1}{Z} \sum_{\{s_i\}}{E_{\{s_i\}}\exp (-E_{\{s_i\}}/(kT))} }[/math] [math]\displaystyle{ c=\frac{\langle E^2\rangle-\langle E\rangle^2}{NkT^2} }[/math] [math]\displaystyle{ c\sim (|T-T_C|/T_C)^{-\alpha} }[/math] [math]\displaystyle{ g(r_{ij})\sim \exp(-r/r_0) }[/math] [math]\displaystyle{ r_0\sim |\frac{T_C-T}{T_C}|^{-\nu} }[/math] 这是在外场[math]\displaystyle{ H=0 }[/math]，温度刚好等于临界温度的时候各个小磁针构成的一个构型。该图中，同一种颜色（即状态一致）的小磁针形成了彼此连通的团簇。这些团簇的尺寸有大有小。单独一个团簇具有一定的自相似性，它构成了一个分形。并且团簇的形态会在多个尺度重现类似的模式。假如我们将系统放大或者缩小，我们将无法分辨出不同之处，这就是无标度性这个名词的来源。 然而，如果我们稍作变化，只要每个村民在每个周期都会有一个小概率v发生政治观点的随机变化（并不拷贝邻居的颜色）。那么这个系统就将持续演化下去，不会停留在固定的状态上。不难看出，在这种改进的模型中，Voter模型与伊辛模型很相似。其中，村民拷贝邻居的观点相当于伊辛模型中，小磁针朝能量减小的方向演化。而每个村民按小概率v发生观点随机变化就相当于环境噪声的影响。如果适当地选择v参数的大小，Voter模型将会达到和伊辛模型类似的效果，即存在着临界的概率[math]\displaystyle{ v_C }[/math]，使得系统处于临界状态。与伊辛模型不同的是每个村民的状态取值可以更多。 [math]\displaystyle{ s_i(t+1)=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox {if }\sum_{j}{w_{ij}s_j(t)}\gt \theta_i, \\ -1 & \mbox {otherwise.}\end{array}\right. [math]\displaystyle{ E_{\{s_i\}}=-\sum_{ij}w_{ij}s_is_j - \sum_{i} \theta_i s_i }[/math] [math]\displaystyle{ w_{ij}=\sum_{\nu=1}^{m}V_{\nu}(i)V_{\nu}(j) }[/math] 关于集智百科 - 复杂系统|人工智能|复杂科学|复杂网络|自组织