利奥三世发动“破坏圣像运动”的原因和这一运动对东罗马帝国产生的深远影响如下：

原因：

1. 政治和军事因素：利奥三世试图通过打击圣像崇拜来加强中央集权，削弱教会的权力，并减少外部势力（如伊斯兰教）对帝国的影响。根据中国社会科学网的描述，这场运动对东、西方政教关系产生了重大影响。
2. 经济因素：教会拥有大量土地和财富，利奥三世可能希望通过没收教会财产来解决财政问题。万城之母：君士坦丁堡朝圣上 - 光从东方来提到，国内的贵族一直垂涎教会的土地，希望没收教会的财产。
3. 宗教因素：利奥三世可能受到伊斯兰教“禁止偶像崇拜”的教义影响，认为圣像崇拜与基督教教义相违背。东罗马帝国- 维基百科中提到，伊斯兰教兴起后，在拜占庭帝国发生了破坏圣像运动。

影响：

1. 教会与国家的关系：这场运动加深了罗马教会和拜占庭教会之间的裂痕，最终造成双方彼此排斥。龚伟英：破坏圣像运动与八九世纪的东西方政教关系-腾讯新闻 - 腾讯网中提到，运动使拜占庭皇帝得以重新控制东部教会，其至尊权得到了加强。
2. 文化和艺术：破坏圣像运动窒息了帝国文化的繁荣，并且使它与反对这种理论的西罗马教会权威的关系变得日益紧张。第一部分古代艺术- 读书笔记- 西方艺术史（修订本） - 豆瓣中提到，圣像被狂热崇拜了，因而需要予以禁止。
3. 国际关系：这场运动导致了意大利与拜占庭的疏离，使拜占庭与教会的关系极度紧张。第五章破坏圣像时代（717—867年）234_拜占庭帝国史 - 中华典藏中提到，教皇开除了破坏圣像者的教籍，并转而向西方寻求政治上的支持。

综上所述，利奥三世发动“破坏圣像运动”的原因复杂多样，涉及政治、经济和宗教等多个方面，而这场运动对东罗马帝国产生了深远的影响，包括教会与国家关系的变化、文化和艺术的压制以及国际关系的紧张。