根据搜索结果，邹伊（Zoe）是拜占庭帝国历史上的一位女皇，她在统治期间面临了重大挑战，并对拜占庭帝国产生了深远的影响。

邹伊面临的重大挑战：

1. 内忧外患：根据中国社会科学网的文章《科穆宁王朝与拜占庭百年复兴》¹，王朝建立初期，帝国面临内忧外患的严峻形势，外敌三面入侵、国内叛乱频繁、军区制瓦解、小农经济衰败。这些挑战对拜占庭帝国的稳定和繁荣构成了严重威胁。
2. 教会与皇权的斗争：根据《2020丨公元720年代，拜占庭圣像破坏运动这样发生》²，拜占庭帝国经历了圣像破坏运动，极大地削弱了帝国教会，这场运动奠定了教权从属于皇权的格局，对帝国的政治结构产生了深远影响。

邹伊对拜占庭帝国的影响：

1. 政治稳定：尽管面临内忧外患，邹伊的统治有助于维持帝国的政治稳定。她通过与不同势力的联盟和政治手段，保持了帝国的统一和中央集权。
2. 文化传承：根据光明网的文章《西西里翻译中心与古希腊文化和拜占庭文化的西传》³，西西里统治者以拜占庭帝国为典范，推动了西西里宫廷对希腊文化的热衷，这表明邹伊时期的拜占庭帝国在文化上具有重要影响力。
3. 经济影响：根据中国历史研究院的文章《拜占庭帝国土地关系述评》⁴，拜占庭帝国能否处理好土地关系、确保获得由土地带来的税收，影响着拜占庭的国势。邹伊时期的政策可能对帝国的经济状况有所影响。

综上所述，邹伊在统治期间面临了内忧外患和教会与皇权的斗争等重大挑战，她的统治对拜占庭帝国的政治稳定、文化传承和经济状况产生了深远的影响。