拉丁帝国选择公开审判并处死阿历克塞五世的原因，根据维基百科的资料，新生的拉丁帝国可能认为这样做可以为自己的统治增添合法性。他们将阿历克塞五世视为“杀害最后一位合法皇帝的凶手”，通过公开审判和处死他，拉丁帝国试图展示自己是正义的一方，并以此来巩固其在新征服地区的权威和控制[1]。
至于这一行为对他们统治的影响，同样根据维基百科的资料，拉丁帝国通过这种方式可能在一定程度上增强了其合法性，但也可能引起了当地居民的不满和反抗。公开审判和处死一个东正教皇帝可能被视为对当地宗教和文化的冒犯，从而加剧了拉丁帝国与当地居民之间的紧张关系[1]。
综上所述，拉丁帝国选择公开审判并处死阿历克塞五世，可能是为了通过展示正义来增强其统治的合法性，但这一行为也可能带来了一些负面影响，包括加剧了与当地居民的紧张关系。
[1] 阿历克塞五世- 维基百科: https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%98%BF%E5%8E%86%E5%85%8B%E5%A1%9E%E4%BA%94%E4%B8%96