卡尔提德王朝在蒙古伊儿汗国分裂后取得独立的过程如下：
伊儿汗国的瓦解：1335年，伊儿汗国的最后一位汗王不赛因去世后，国家迅速瓦解。由于不赛因无嗣，伊儿汗国的权臣和统将各自拥立傀儡可汗，导致国家分裂[1]。
卡尔提德王朝的建立：伊儿汗国分裂后，东波斯和阿富汗地区形成了卡尔提德王朝。这个王朝是由伊儿汗国的分裂直接产生的，其统治者在蒙古人的影响下，建立了自己的政权[2]。
蒙古人的态度：蒙古人对卡尔提德王朝的建立表示了一定程度的尊重，并没有大幅度干涉他们的统治方式，只是派了蒙古军队驻守，并派遣官员进行监督[3]。
卡尔提德王朝的独立：随着伊儿汗国的进一步衰弱和瓦解，卡尔提德王朝逐渐取得了实际上的独立。他们维持了对东波斯和阿富汗地区的控制，并继续发展自己的政权[4]。
综上所述，卡尔提德王朝之所以能在蒙古伊儿汗国分裂后取得独立，主要是因为伊儿汗国的内部瓦解和权臣的割据，以及蒙古人对新王朝的一定程度的认可和非干预政策。卡尔提德王朝利用这一机会，建立了自己的统治，并最终取得了独立。
[1] https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%BC%8A%E5%85%92%E6%B1%97%E5%9C%8B [2] https://www.163.com/dy/article/GCJRVC0S0543L3EZ.html [3] https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%8A%E5%88%A9%E6%B1%97%E5%9C%8B/1966356 [4] https://www.sohu.com/a/406145121_100294330