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伊辛模型_百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科 百度首页 登录 注册 进入词条全站搜索帮助 首页 秒懂百科 特色百科 知识专题 加入百科 百科团队 权威合作 个人中心 伊辛模型 播报讨论上传视频 描述物质相变的随机过程模型 收藏 查看我的收藏 0有用+1 伊辛模型（Ising model）是一类描述物质相变的随机过程（stochastic process）模型。物质经过相变，要出现新的结构和物性。发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。 伊辛模型所研究的系统由多维周期性点阵组成，点阵的几何结构可以是立方的或六角形的，每个阵点上都赋予一个取值表示自旋变数，即自旋向上或自旋向下。伊辛模型假设只有最近邻的自旋之间有相互作用，点阵的位形用一组自旋变数来确定。常见的二维伊辛模型示意图使用箭头方向表示自旋方向。 中文名 伊辛模型 外文名 Ising model 类    型 随机过程，随机场 提出者 Wilhelm Lenz，Ernst Ising 提出时间 1920-1924年 学    科 统计学 应    用 物理学，统计力学，量子场论 目录 1发展历史 2理论 ▪模型 ▪平均场理论 3求解 ▪一维情形 ▪二维情形 ▪其它 发展历史 播报 编辑 伊辛模型由德国物理学家威廉·楞次（Wilhelm Lenz）在1920年提出以描述铁磁性物质的内部的原子自旋状态及其与宏观磁矩的关系。1924年，楞次的学生Ernst Ising求解了不包含相变的一维伊辛模型 [1]。20世纪30-40年代，劳伦斯·布拉格（Lawrence Bragg）、E. J. Williams、汉斯·贝特（Hans Bethe）、Rudolf Peierls等学者使用平均场近似理论（mean-field theory）对二维伊辛点阵模型（two-dimensional square-lattice Ising model）进行了研究 [2-4]。1944年美国物理学家拉斯·昂萨格（Lars Onsager）得到了二维伊辛模型在没有外磁场时的解析解，即Onsager解 [5]。 理论 播报 编辑 模型 这里以二维伊辛点阵模型（two-dimensional square-lattice Ising model）为例对伊辛模型进行说明。二维伊辛点阵模型是一个空间随机场，其中任意点的状态 可有 两个取值，并仅受到与其邻接的点的影响 [6]： 式中 为与 邻接的点的集合，求和项 被称为外部场（external field）， 是模型参数，当 时，随机场所有点的符号（正负）相同、当 时，随机场所有点的正负相反、当 时，随机场间的点与其邻接点之间没有相互作用，按均等概率取正或负值 [6]。 图1 伊辛模型 伊辛模型通常被用于模拟铁磁性物质（铁、钴、镍）的结构并对其在铁磁性状态和非铁磁性状态之间的相变（phase transition）进行理论描述。当铁磁性物质的温度低于居里温度（Curie temperature）时，其内部的原子会按特定方式自旋从而产生宏观磁矩。对应伊辛模型中 的情形，前者表现为铁磁性（ferromagnetic），后者表现为反铁磁性（anti-ferromagtic）。当温度高于居里温度时，原子自旋的取向非常紊乱，不产生净磁矩，对应 的情形。 平均场理论 Weiss分子场理论（Weiss molecular field theory） Weiss分子场理论将伊辛模型近似为点 的乘积 [6-7]： 所有邻接点对其自身的影响，可得如下展开 [6]： 即概率分布可表示为该点邻接点的状态的期望叠加一常数。带入二维伊辛点阵模型的表达式后可得 [6]： ，由此得到 [6]： Bragg-Williams平均场理论（Bragg-Williams mean-field theory） Bragg-Williams平均场理论认为，某一阵点上的自旋取某一方向的几率同近邻阵点上的自旋取向无关，只同自旋在该方向的数目成正比。每个阵点上有一平均磁场，自旋在阵点上的取向只同该磁场有关。用这种方法可求得下列公式 [7]： S\=-Sc=kln(1.358)。

{\displaystyle \sigma _{i}} {\displaystyle P_{\beta }(\sigma )={e^{-\beta H(\sigma )} \over Z_{\beta }},} {\displaystyle Z_{\beta }=\sum _{\sigma }e^{-\beta H(\sigma )}} {\displaystyle \langle f\rangle _{\beta }=\sum _{\sigma }f(\sigma )P_{\beta }(\sigma )\,} H(σ) 中兩項前的負號是約定俗成的。因為第一項為負號，因此參數 Jij 的正負號決定了該系統的性質，對於每一對 i 和 j : {\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{<i~j>}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.} {\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{<i~j>}\sigma _{i}\sigma _{j}.} 被研究的最透徹易辛模型是在 d 維晶格上，平移不變、鐵磁性並且無外加場的模型。也就是 ：Λ = Zd, Jij = 1, h = 0。 {\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp(-c(\beta )|i-j|)} {\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c^{\prime }(\beta )>0.\,} {\displaystyle A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0\\1,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}} {\displaystyle J} {\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}} {\displaystyle T} {\displaystyle \beta =1/(kT)} {\displaystyle J_{1}} {\displaystyle J_{2}} {\displaystyle h=0} {\displaystyle T_{c}} {\displaystyle J_{1}=J_{2}} {\displaystyle T_{c}={\frac {2J}{k\ln(1+{\sqrt {2}})}}} {\displaystyle \beta ={\frac {1}{kT_{c}}}\approx {\frac {0.44}{J}}}

H(σ) 中兩項前的負號是約定俗成的。因為第一項為負號，因此參數 J ij 的正負號決定了該系統的性質，對於每一對 i 和 j : > ，則該系統為鐵磁性。 < ，則該系統為反鐵磁性。 = 表示自旋間無交互作用。 除此之外該系統為 非鐵磁性。. 在鐵磁性的易辛模型中，相鄰自旋同方向時能量較低，因此自旋會