海地共和国在1820年实现南北统一的过程主要归功于让-皮埃尔·布瓦耶。根据搜索结果，以下是关键信息：
南北分治的局面：海地独立后不久，由于内战导致南北分治。北方由亨利一世统治，而南方由亚历山大·佩蒂翁控制。
关键人物：布瓦耶是佩蒂翁的继任者，他在1818年佩蒂翁去世后掌权。
统一行动：1820年，亨利一世和他的儿子去世后，布瓦耶趁机进攻北方，最终实现了海地国内的统一。来源
进一步的统一：布瓦耶不仅统一了海地南北，还在1822年征服了该岛东部，即当时的圣多明各，实现了整个西班牙岛的统一。来源
政治动荡：尽管布瓦耶在1820年实现了南北统一，但海地政局从1843年起又出现了极度动荡。
综上所述，海地共和国在1820年实现南北统一主要是通过布瓦耶的政治和军事行动完成的。他利用北方王国国王去世的机会，进攻并统一了南北海地，随后进一步统一了整个伊斯帕尼奥拉岛。